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《罗尔定理、拉格朗日中值定理》内容小结、题型、典型例题与参考

时间:2021-10-22 10:25 来源:网络整理 转载:浙江生活网
一、定理 1、罗尔定理: 注意满足三个条件,一定得到导数等于0的中值结论. 2、拉格朗日中值定理: 两个条件,结论不同的描述形式,尤其是增量形式,由此可以验证、推导函数结论. 【注】 :拉格朗日中值定理架起了函数值、导数值和自变量的取值之间的桥梁 .


一、定理

1、罗尔定理:

注意满足三个条件,一定得到导数等于0的中值结论.

2、拉格朗日中值定理:

两个条件,结论不同的描述形式,尤其是增量形式,由此可以验证、推导函数结论.

【注】:拉格朗日中值定理架起了函数值、导数值和自变量的取值之间的桥梁.

推论:如果f(x)(a,b)内恒有f’(x)=0,则在(a,b)f(x)恒为常数. 

二、一般适用的问题

(1)证明存在一点使得等式成立的中值等式命题可以考虑使用零值定理与罗尔定理,如果有函数值的差结构,或者可以写成两个函数值差的结构,可以考虑拉格朗日中值定理

(2)证明存在一点不等式结论成立的中值不等式命题考虑使用拉格朗日中值定理

(3)由拉格朗日中值定理的有限增量形式和端点的任意性,也可以应用拉格朗日中值定理证明函数不等式的结论. 

三、应用定理证明问题的一般思路

(1)改写中值等式或不等式,将所有项移到一侧,对于包含有两个中值的等式,将不同的中值相关的式子各自移到一侧

(2)令表达式中的中值为变量x,并求它的一个原函数,构造辅助函数F(x)

(3)验证辅助函数满足定理条件,得到结论

【注】对出现的函数值差,或者出现函数值时构造函数值差结构,直接由拉格朗日中值定理结论描述,反向推导构造辅助函数.

参考课件节选:

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